相对论番外篇:双生子佯谬详解
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相对论番外篇:双生子佯谬详解

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今天咱们专门用一讲来把“双生子佯谬”给彻底解释清楚,这个内容不影响你理解相对论的大局。我们不会用到什么特别的数学,但是推导过程有点烧脑,所以这一讲是专门献给爱钻研的读者。这期内容不适合用音频讲,它需要你通过看文稿学习,甚至如果你能准备纸笔,边画图边理解,你肯定能搞懂它。

“双生子佯谬”这个词是如此的熟悉却又如此的没有讲清楚。有些民间科学家认为双生子佯谬说明相对论是错的,有人认为必须学会广义相对论才能理解双生子佯谬,还有的是用到“闵可夫斯基空间”里的“世界线”来解释。

其实双生子佯谬一点都不神秘,在相对论的教科书里是常规的项目。我们这里讲一个最直观的解释 [1]。

我们将会看到,双生子佯谬的确会涉及到一点广义相对论,但是它本质上是个狭义相对论的效应。

咱们先稍微做一点准备。

基础准备

我们要用到相对论的三个效应 ——

  1. 运动的物体的时间会变慢;

  2. 运动的物体的长度会收缩;

  3. “同时”是相对的。

然后我还想再次强调一下“事件”这个概念。所谓事件,就是在一个特定的时间和地点发生的事情,它是一个非常本地化的东西。

比如咱俩面对面相聚在一个地方,这就是一个事件。事件是实实在在发生的,它是绝对的,不是相对的。

哪怕咱俩是高速擦肩而过,只要在某个时刻、咱俩的距离曾经非常近,那就可以迅速打个照面,那就构成了一个事件。在这个事件里你看我是多少岁、我看你是多少岁,都是清清楚楚的。不管是谁、在哪个坐标系里看这个事件里的咱俩,谁更年轻谁更老都是一目了然,没有任何异议。

但是,如果在这个相遇事件中,你告诉我你有一个兄弟在5光年以外的一个星球上工作,你告诉我你兄弟现在多少岁,那我可就不一定认同你的观点了。我跟你构成一个事件,因为你就在我身边。我跟你兄弟,可不算构成事件。

你说你兄弟今年30岁,那是在你的坐标系里你的看法。如果我跟你有个相对运动,也许在我眼里他现在就不是30岁 ——因为你的“现在”,不等于我的“现在”。“现在”是个幻觉,“同时”是相对的。

好,有了这些理论准备,我们就可以仔细考察双生子佯谬。

为了把这个事儿彻底说明白,咱们假定有兄妹三人,是个三胞胎。妹妹一直待在地球上。哥哥坐着宇宙飞船从地球出发前往A星球,再从A星球回到地球。姐姐则一直待在A星球。

我们假设地球和A星球之间没有相对的运动,也就是说,A星球对地球来说只不过就是个比较远的地方而已。那么我们就可以建立一个让地球和A星球都静止的坐标系,那么显然在这个坐标系里妹妹和姐姐也是静止的 —— 她们可以在这个坐标系里“同时”成长,年龄总是一样。

我们设定在这个相对于妹妹静止的坐标系里,地球到A星球的距离是20光年,哥哥的飞船的速度是0.8c。为了尽可能地去除广义相对论效应,我们设定哥哥一直保持高速,他加速和减速都不需要花时间。

好,现在我们定义三个事件:

如果双生子佯谬没毛病,相对论没问题,那么这三个事件的当事人的年龄,就应该与兄妹二人所在的坐标系无关。

现在我们就考察一下两个坐标系中这三个事件发生时当事人的年龄。

妹妹的坐标系

在妹妹的坐标系下,她和姐姐是静止不动的,哥哥在做运动。地球到A星球这段距离是20光年,哥哥的速度是0.8c。 事件1发生的时候,哥哥和妹妹在一起,而姐姐又跟妹妹在同一个坐标系里互相静止,所以兄妹三人的年龄是一样的,简单起见我们干脆设定这时候他们都是0岁。

在妹妹看来,哥哥要飞行25年才能到达A星球。所以事件2发生的时候妹妹和姐姐应该都是25岁。但是,因为哥哥是在高速运动,他相对于妹妹的坐标系有个时间变慢的效应,所以他这时候应该只有15岁 [2]。

所以哥哥和姐姐一见面,他已经比姐姐年轻了10岁!那你可能会说,为什么是哥哥比姐姐年轻?难道相对于哥哥,姐姐不也在做高速运动吗?这个问题咱们等会儿再说,因为那是哥哥的坐标系里的事情!

等到事件3,这个妹妹的坐标系下,哥哥又要飞25年才能回到地球,所以这时候妹妹已经50岁了。而因为哥哥是高速运动的,他又有一个时间变慢的效应,所以哥哥飞行这段距离还是只花了15年。哥哥这时候,是30岁。

哥哥飞了一圈,妹妹原地不动,结果哥哥比妹妹年轻了20年。

人们对双生子佯谬的全部质疑,就是在哥哥不动的坐标系里,妹妹不也相当于飞了一圈吗?为什么不是妹妹年轻呢?

哥哥的坐标系

在相对于哥哥静止的坐标系下看,是哥哥的飞船静止不动,妹妹和从地球到A星球这段距离在以0.8c的速度运动。那么既然这段距离是在运动,它就有一个相对论长度收缩的效应,所以在在哥哥的眼中,地球到A星球的距离就不是20光年了,而是12光年。

事件1发生的时候,哥哥和妹妹在一起,他们都是0岁。但是,请注意,在哥哥的坐标系里,远在A星球的姐姐,可不是0岁。

这是因为“同时”是相对的!妹妹坐标系中妹妹和姐姐同时长大,但是在哥哥坐标系里,姐姐会比妹妹先长大!在哥哥眼中,在发生事件1的时候,姐姐不是0岁,而是16岁。这个16岁可不是我凭空给出的,这里有一个计算公式:Lv/c²,其中 v=0.8,L=20 [3]。

从事件1到事件2,哥哥看到的是12光年的距离以0.8c的速度运动,应该用15年。所以事件2发生的时候,哥哥是15岁。

而既然现在是姐姐在高速运动,所以姐姐的时间要变慢,姐姐可没有用15年 —— 她只用了9年!所以事件2发生的时候,姐姐是16+9=25岁。妹妹也用了9年,妹妹是9岁。

这就解决了前面说的矛盾。是,哥哥的坐标系里是姐姐的时间慢 —— 但是,姐姐的起步晚!所以还是哥哥比姐姐年轻!根本原因在于“同时”是相对的。不过,此时哥哥眼中,妹妹的确比哥哥年轻,只有9岁。

接下来,哥哥要调头飞回地球。这里有个关键问题。

哥哥调头的过程中,他的坐标系会发生一个变化。调头之前,是地球-A星球相对于哥哥从右往左飞;调头之后,是地球-A星球相对于哥哥从左往右飞。那也就是说,一旦调了头转换了坐标系,在哥哥的眼中,再看妹妹就好像事件1的时候看姐姐一样,是远方的妹妹比眼前的姐姐大16岁。

既然姐姐是25岁,妹妹就应该是25+16=4 1岁。

从事件2到事件3,哥哥还是需要15年的时间,变成30岁。而高速运动的妹妹只需要花9年的时间,变成41+9=50岁。


我们看看这三个事件,不管是在妹妹还是哥哥的坐标系看,当事的两个人的年龄都是一样的 ——

在场的人构成事件,年龄都能对上;而不在场的人的年龄,因为“同时”是相对的,只能算观点。其实有关相对论的各种所谓的悖论,几乎都是因为同时是相对的。

为什么是哥哥比妹妹年轻,而不是妹妹比哥哥年轻?因为哥哥和妹妹的经历并不是等价的。妹妹一直都在做同一个匀速直线运动,而哥哥经历了两个不同方向的匀速直线运动。为此哥哥必须在A星球减速、调头、再加速,这种经历妹妹没有。

我们应该好好体会一下哥哥在A星球的那次调头。调头之前哥哥还以为妹妹比自己年轻。在整个调头过程中哥哥和就在本地的姐姐都没有什么年龄变化,可是调头之后,哥哥再看妹妹,感觉妹妹一下子就老了32岁!

这就是为什么去黑洞执行一次任务,回来就会发现别人都比你老的快 —— 这就暗示了广义相对论。咱们下周再说。

注释:

[1] 这里的详细计算过程参考 David Morin, Special Relativity for the Enthusiastic Beginner 一书。所用的图片来自 Richard Wolfson, Simply Einstein: Relativity Demystified 一书。

[2] 时间变慢和下面长度收缩的计算公式我们前面讲了。

[3] 这个16岁是如何计算的呢?如果你想要对相对论的掌握达到物理系学生的水平,可以查阅前面注释里 David Morin 的书,计算公式是 Lv/c²,其中 v=0.8,L=20。

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